درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

در جدول زیر رابطهٔ بین تعدادی چند ضلعی و مجموع زوایای داخلی آنها داده شده است. جدول را کامل کنید.

پنج ضلعی	لوزی	مربع	مثلث	چند ضلعی
$540{}^\circ $	$360{}^\circ $	$360{}^\circ $	$180{}^\circ $	مجموع زوایای داخلی (درجه)

این رابطه را به صورت زوج مرتبی نمایش دهید.

{($360{}^\circ $، پنج ضلعی)، ($540{}^\circ $، لوزی)، ($360{}^\circ $، مربع)، ($180{}^\circ $، مثلث)}=f

چرا $f$ یک تابع است؟
چون به هر چند ضلعی دقیقاً یک عدد به عنوان مجموعه زاویه‌های داخلی نسبت داده شده است.
مجموعهٔ همهٔ مؤلفه‌های اول زوج‌های مرتب تشکیل دهندهٔ هر تابع را «دامنه» و مجموعهٔ همهٔ مؤلفه‌های دوم را «برد» آن تابع می‌نامند.
در فعالیت بالا:

{پنج‌ضلعی ، لوزی ، مربع ، مثلث} = دامنه $f$
$\left\{ 180,360,540 \right\}$ برد $f$

1- در جدول زیر رابطهٔ بین ضلع یک مربع و محیط آن داده شده است. جدول را کامل کنید.

5	3	۲	$\frac{3}{2}$	۱	$\frac{1}{2}$	طول ضلع
۲۰	12	8	6	۴	۲	محیط

نمایش رابطهٔ داده شده را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسید. چرا این رابطه تابع است؟ دامنه و برد این تابع را بنویسید.
از آنجا که به هر طول ضلع تنها یک محیط نسبت داده شده است این رابطه تابع است.

$f=\{(\frac{1}{2},2),(1,4),(\frac{3}{2},6),(2,8),(3,12),(5,20)\}$

$f=\{2,4,6,8,12,20\}$ برد

$f=\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,3,5\}$ دامنه

2- الف) تابعی مثال بزنید که دامنهٔ آن سه عضو و برد آن دو عضو داشته باشد.

$g=\left\{ (1,2),(3,2),(2,3) \right\}$

ب) آیا تابعی وجود دارد که دامنهٔ آن دوعضو و برد آن سه عضو داشته باشد؟
خیر، زیرا اگر به هر عضو دامنه یک عضو نسبت دهیم، مجموعه برد حداکثر به تعداد اعضای دامنه می‌تواند عضو داشته باشد.
3- اگر $f$ تابعی از مجموعهٔ $A$ به مجموعه $B$ باشد، می‌دانیم که دامنهٔ $f$ همان مجموعهٔ $A$ است. آیا همیشه برد تابع $f$ با مجموعهٔ $B$ برابر است؟ مثال بزنید.
خیر، فرض کنید تابع $f$ به صورت زیر باشد:

در این صورت $A=\{-2,3,4,-5\}$ $=$ دامنه‌ی تابع $f$ و $B=\{-8,2,5,6\}$ و $=\{-8,2,5\}$برد تابع $f$، می‌بینیم که $\ne B$ برد تابع $f$.

1- دنبالهٔ شکل‌های زیر را درنظر بگیرید:

2- جدول را کامل کنید.

...	$n$	...	۱۰۰		۶	۵	۴	۳	۲	۱	شماره شکل
	$2n-1$	...	199		11	9	7	5	3	1	تعداد دایره‌ها

چرا این جدول یک تابع را نشان می‌دهد؟ نمایش زوج مرتبی این تابع:

$f=\left\{ (1,1),(2,3),(3,5),...(100,....),...(n,...),... \right\}$
$f=\left\{ (1,1),(2,3),(3,5),...(100,199),...(n,2n-1),... \right\}$

نمودار پیکانی و نمودار مختصاتی این تابع را رسم کنید.

دامنه و برد این تابع را بنویسید. دامنه و برد چه مجموعه‌هایی هستند؟ نام ببرید.

مجموعه  اعداد طبیعی  $=\left\{ 1,2,3,... \right\}=\mathbb{N}$ دامنه $f$

مجموعه  اعداد طبیعی فرد $=\left\{ 1,3,5,7,... \right\}=$ برد $f$

اگر تابعی با نمایش جبری $f(n)={{n}^{2}}+1$ داده شده باشد و دامنهٔ آن $A=\{1,2,3,4\}$ باشد، برد تابع $f$ به دست آورید.

$\left. \begin{matrix}
   n=1\Rightarrow f(n)=f(1)={{1}^{2}}+1=2  \\
   n=2\Rightarrow f(n)=f(2)={{2}^{2}}+1=5  \\
   n=3\Rightarrow f(n)=f(3)={{3}^{2}}+1=10  \\
   n=4\Rightarrow f(n)=f(4)={{4}^{2}}+1=17  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow f=\left\{ 2,5,10,17 \right\}$

$f=\left\{ 2,5,10,17 \right\}$ برد

جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط $y=2x-1$ استفاده کنید.

2-	$-\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}$	0	1-	3	2	1	$x$
5-	$-\frac{5}{2}$	0	1-	3-	5	3	1	$y$

آیا می‌توانید شباهت و تفاوت این جدول را با جدول فعالیت قبل نشان دهید؟ چرا این جدول هم یک تابع را نشان می‌دهد؟ این تابع را $g$ بنامید.
شباهت دو جدول در این است که مقدار $y$ از دو برابر کردن مقدار $x$ و سپس یک واحد کم کردن از آن به دست می‌آید. یعنی هر دو رابطه‌ای خطی به شکل $y=2x-1$ دارند.
تفاوت دو جدول این است که دامنه‌ی جدول قبل اعداد طبیعی بود ولی این جدول دامنه‌اش هر عدد حقیقی می‌تواند باشد؛ به عبارت دیگر نمودار جدول قبل گسسته (نقطه به نقطه) بود و این جدول نموداری پیوسته دارد.
نمودار این تابع و تابع داده شده در فعالیت قبل چه تفاوتی با هم دارند؟
نمودار این تابع پیوسته است ولی نمودار تابع قبل یک نمودار گسسته است.
دامنه و برد این تابع را به دست آورید و با دامنه و برد تابع $f(n)=2n-1$ که در آن $n\in N$ مقایسه کنید.
دامنه و برد تابع $g$ مجموعه‌ی اعداد حقیقی یعنی $\mathbb{R}$ است در حالی که دامنه‌ی تابع $f$، اعداد طبیعی و برد آن اعداد طبیعی فرد است.
جاهای خالی را کامل کنید.

$g(-\frac{1}{5})=$ 
$g(-\frac{1}{5})=2(-\frac{1}{5})-1=\frac{-7}{5}$ 

$g(0)=$ 
$g(0)=2(0)-1=-1$

$g(\frac{2}{7})=$ 
$g(\frac{2}{7})=2(\frac{2}{7})-1=\frac{-3}{7}$

$g(\sqrt{5})=$
 $g(\sqrt{5})=2(\sqrt{5})-1=2\sqrt{5}-1$

$g(10)=$
 $g(10)=2x-1$ 

نمایش جبری تابع داده شده در این «کار در کلاس» را بنویسید. $g(x)=2x-1$
در اینجا $x$ یک عدد حقیقی است.

هنگامی که پزشکان می‌خواهند دربارهٔ رشد یک کودک اظهار نظر کنند، نمودار وزن او را با نمودار شکل (۱) مقایسه می‌کنند. در مقایسهٔ نمودار وزن هر کودک با نمودار شکل (۱)، چهار وضعیت متفاوت ممکن است رخ دهد که در شکل (۲) نشان داده شده‌اند.

جدول زیر نشان دهندهٔ وزن یک کودک است که آن را پزشک (یا مرکز بهداشتی) در پایان هر ماه طی یک سال، ثبت کرده است. این جدول یک تابع را نشان می‌دهد.

12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	زمان (ماه)
8/5	8	7/2	6/5	5/5	4/5	4/8	5	5	5	4/2	3/3	2/8	وزن (کیلو گرم)

الف) به نظر شما در فاصلهٔ زمانی تولد تا سه ماهگی، رشد کودک با کدام یک از چهار وضعیت نشان داده شده در شکل (2) مطابقت دارد؟
با وضعیت «کندی رشد» مطابقت دارد چرا که در پایان سه ماهه اول باید حدود 6 کیلوگرم باشد.
ب) در چه فاصلهٔ زمانی‌ای وزن او ثابت مانده است؟
در فاصله زمانی سه ماهگی تا 5 ماهگی وزن او ثابت مانده است.
پ) اعداد داده شده در جدول را روی شکل (1) مشخص کنید. نقاط به دست آمده را به یکدیگر وصل کنید تا نمودار جدیدی به دست آید. با مقایسهٔ این نمودار با نمودار اصلی، رشد کودک از نظر وزن را در طی یک سال بررسی کنید.
وزن کودک در فاصلهٔ بین ماه‌ها اندازه گیری نشده بود؛ ولی به کمک نموداری که رسم کرده‌اید، می‌توانید وزن او را در فاصلهٔ بین ماه‌ها نیز به صورت تقریبی تعیین کنید.

ت) دامنه و برد این تابع را به دست آورید و نمودار پیکانی آن را نیز رسم کنید.

$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ دامنه‌ی تابع $f$

$=\{2/8,3/3,4/2,5,4/8,4/5,5/5,6/5,7/2,8,8/5\}$ برد تابع $f$ ​​​​​​

کدام یک از نمودارهای زیر یک تابع را نمایش می‌دهند؟ توضیح دهید.

می‌توانید نمایش زوج مرتبی نمودارهای بالا را بنویسید و به کمک آن تابع بودن یا تابع نبودن آنها را معلوم کنید. دامنه و برد هر کدام را که تابع است، مشخص کنید.

$=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$ دامنه‌ی تابع $f$

$=\left\{ 1,2 \right\}$ برد تابع $f$ ​​​​​​

با تکمیل جملهٔ زیر معیاری برای تشخیص تابع بودن یک رابطه که به صورت نمودار ارائه می‌شود، به دست آورید.
اگر نمودار یک رابطه داده شده باشد، هنگامی این نمودار تابع است که هر خط موازی محور عرض‌ها، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

کدام یک از نمودارهای زیر یک تابع را نمایش می‌دهند؟

1- کدام یک تابع است؟
دامنه و برد هر تابع را معلوم کنید.

2- تابعی مثال بزنید که:
الف) دامنهٔ آن تنها شامل دو عضو باشد.

$f=\left\{ (1,2),(2,3) \right\}$ 

ب) برد آن تنها از یک عضو تشکیل شده باشد.

$g=\left\{ (1,2),(2,2) \right\}$ 

پ) دامنهٔ آن تنها یک عضو داشته باشد.

$h=\left\{ (1,2) \right\}$ 

ت) دامنهٔ آن نامتناهی باشد، ولی برد آن تنها یک عضو داشته باشد.

$t=\left\{ (1,1),(2,1)(3,1),...(n,1),... \right\}$ 

ث) دامنه و برد آن نامتناهی باشند.

$k=\left\{ (1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n),... \right\}$ 

3- جاهای خالی در جدول را کامل کنید و نمودار توابعی را که در جدول، توصیف شده‌اند، رسم کنید.

(ت)	(پ)	(ب)	(الف)
$y=2x$	$h(x)=2x$	$g(x)=2x$	$f(x)=2x$	تابع
مجموعهٔ اعداد حقیقی نامنفی	$[2,3]$	مجموعهٔ اعداد حقیقی	$\{1,2,3,4\}$	دامنه
مجموعهٔ اعداد حقیقی نامنفی	$[4,6]$	مجموعهٔ اعداد حقیقی	$\{2,4,6,8\}$	برد

4 یک شمع 20 سانتی متر ارتفاع دارد و در هر ساعت 4 سانتی متر آن می‌سوزد. پس از چند ساعت شمع خاموش خواهد شد؟ جدولی تنظیم کنید و در ساعات مختلف ارتفاع شمع را محاسبه کنید.

5	4	3	2	1	0	$x$ (زمان)
0	4	8	12	16	20	$y$ (ارتفاع شمع)

نمودار این تابع را رسم کنید.

چرا این تابع، یک تابع خطی است؟
چون نسبت تفاضل عرض‌های هر دو نقطه به تفاضل طول‌های آن دو نقطه مقدار ثابتی است، به عبارت دیگر همه نقاط روی کی خط راست واقع شده‌اند.
5- آیا خط $x=2$ را می‌توان به عنوان یک تابع در نظر گرفت؟ چرا؟ خط $y=5$ را چطور؟ در حالت کلی چه موقع یک خط را می‌توان یک تابع نیز در نظر گرفت؟
خیر، $x=2$ یک تابع نیست، زیرا بی‌شمار نقطه روی آن قرار دارند که در همه آنها مؤلفه اول 2 است و مؤلفه دوم هر عدد می‌تواند باشد.
خط $y=5$ یک تابع است. زیرا هیچ دو نقطه روی آن دارای مؤلفه‌های اول برابر نیستند. یعنی هر خط عمودی نمودار $y=5$ را تنها در یک نقطه قطع می‌کند.
در حالت کلی نموداری تابع است که هر خط موازی محور $y‌$ها، نمودار را تنها در یک نقطه قطع کند.

6- نمایش جبری سه تابع خطی را بنویسید که دامنهٔ آن بازه $[-3,5]$ باشد. چه تعداد از این گونه توابع وجود دارند؟
بی نهایت تابع وجود دارد که دامنه‌ی آنها $[-3,5]$ باشد.

  $\begin{align}
  & 1)f(x)=x\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow [-3,5] \\ 
 & 2)g(x)=2x\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow [-3,5] \\ 
 & 3)h(x)=\sqrt{5}x+1\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow [-3,5] \\ 
\end{align}$

7- نمایش جبری تابع زیر را که نمودار آن ارائه شده است، به دست آورید.
تابع خطی است، پس به شکل $y=ax+b$  خواهد بود. تابع از دو نقطه‌ی $(1,2)$  و  $(-3,0)$ می‌گذرد، پس:

$\left\{ \begin{matrix}
   2=a(1)+b  \\
   0=a(-3)+b  \\
\end{matrix} \right.$ 

 $\left\{ \begin{matrix}
   a+b=2\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   -3a+b=0\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$

پس معادله‌ی خط به صورت $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ است.

از بین نمایش‌های مختلفی که برای این تابع می‌دانید، کدام یک مناسب‌تر است؟
از بین نمایش‌های مختلفی که می‌شناسیم نمایش ضابطه‌ای و نمودار مختصاتی مناسب‌تر است.
8- جدول زیر دمای سنگ‌ها در عمق‌های متفاوت زیر سطح زمین را نشان می‌دهد.

6	5	4	3	2	1	عمق (کیلومتر)
230	195	160	125	90	55	دما (سانتی گراد)

الف) توضیح دهید که چرا این جدول یک تابع را به دست می‌دهد. نمودار آن را رسم کنید.
چون به هر عمق فقط یک دمای معین نسبت داده شده است.

ب) معادله‌ای برای این تابع به دست آورید.

$y=ax+b$ 

$\left. \begin{matrix}
   (1,55)\Rightarrow 55=a(1)+b  \\
   (2,90)\Rightarrow 90=a(2)+b  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow a=35\Rightarrow 55=35(1)+b\Rightarrow b=20$ 

معادله‌ی تابع $y=35x+20$ است.
پ) دمای یک سنگ را که در عمق 10 کیلومتری زیرزمین است، بیابید.

$x=10\Rightarrow y=35x+20\to y=35(10)+20=370$

دما در عمق 10 کیلومتری زمین 370 درجه سانتی‌گراد است.
9- الف) تابع $f(x)=-3$ را رسم کنید و مقادیر $f(2)$ و $f(100)$ و $f(-5)$ و $f(\sqrt{5})$ و $f(-\frac{3}{4})$ و را به دست آورید.

$f(2)=-3,f(100)=-3,f(-5)=-3,f(\sqrt{5})=-3,f(\frac{-3}{4})=-3$

ب) اگر دامنهٔ این تابع مجموعهٔ اعداد حقیقی باشد، نمودار تابع را رسم کنید.

پ) نمودار این تابع را وقتی که دامنهٔ آن بازهٔ $[-2,5]$ باشد، نیز رسم کنید.

10) برای یک تابع خطی می‌دانیم که: $f(2)=11$ و $f(0)=7$. نمودار این تابع را رسم کنید و نمایش جبری آن را بنویسید.

$f(x)=ax+b$ 

$\left\{ \begin{matrix}
   f(2)=11\Rightarrow 11=2a+b\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   f(0)=7\Rightarrow 7=0+b\Rightarrow b=7  \\
\end{matrix} \right.$ 

$\Rightarrow 11=2a+7\Rightarrow a=2\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow f(x)=2x+7$ 

11- آیا جدول زیر یک تابع را نشان می‌دهد؟ چرا؟

6	5	4	3	2	1	$x$
36	25	15	9	4	1	$y$

بله، این جدول یک تابع را نشان می‌دهد. زیرا هر $x$ دقیقاً به یک $y$ متناظر شده است.
12- علی در هر دقیقه پیاده روی، مسافت 0/1 کیلومتر را طی می‌کند. اگر مسافتی را که علی در $t$ دقیقه طی می‌کند، با $f(t)$ نمایش می‌دهیم، کدام عبارت نمایش جبری این تابع را به دست می‌دهد؟

$f(t)=t-0/1$ (الف

$f(t)=0/1t$ (ب

$f(t)=t+0/1$ (پ

$f(t)=0/1-t$ (ت

گزینه‌ی (ب) درست است. چون در هر دقیقه 0/1 کیلومتر را طی می‌کند و تابعی خطی با شیب 0/1 و عرض از مبدأ صفر (یعنی شروع حرکت در نقطه 0) است.
13- اگر دربارهٔ تابع $g$ داشته باشیم: $g؛g(0)=2,g(1)=5,g(-2)=\frac{1}{3},g(4)=3$ را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب بنویسید و نمودار آن را رسم کنید.

$g=\{(4,3),(-2,\frac{1}{3}),(1,5),(0,2)\}$ 

14- برای اندازه گیری دما از واحدهای «سانتی گراد $C$» و «فاز نهایت  $F$» استفاده می‌شود که با رابطهٔ $F=\frac{9}{5}C+32$ به یکدیگر وابسته‌اند.
الف) 20- درجهٔ سانتی گراد، چند درجهٔ فارنهایت است؟

$C=-20\Rightarrow F=\frac{9}{5}C+32\to F=\frac{9}{5}(-20)+32=-36+32=-4$ 

4- درجه فارنهایت می‌شود.
ب) 104 درجهٔ فارنهایت چند سانتی گراد است؟

$F=104\Rightarrow F=\frac{9}{5}C+32\to 104=\frac{9}{5}C+32\to \frac{9}{5}C=72\to C=40$

40 درجه سانتی‌گراد می‌شود.
پ) معادله‌ای بنویسید که سانتی گراد را برحسب فارنهایت به دست آورد.

$F=\frac{9}{5}C+32\Rightarrow \frac{9}{5}=F-32\Rightarrow C=\frac{5}{9}F-\frac{160}{9}$

ت) آیا رابطهٔ بین این دو واحد، یک تابع خطی را معلوم می‌کند؟
بله، زیرا این رابطه به شکل $y=ax+b$ است.
15- طول یک مستطیل 3 واحد بیشتر از عرض آن است. رابطه‌ای ریاضی بنویسید که محیط این مستطیل را بر حسب تابعی از عرض آن بیان کند.
طول مستطیل را با $x$ و عرضش را با $y$ نشان می‌دهیم، پس:

$x=y+3$ 
$P=2(x+y)\Rightarrow P(y)=2(x+3)+y\Rightarrow P(y)=4y+6$ 

16- دو تابع مثال بزنید که دامنه و برد آنها یکی باشد، ولی هیچ زوج مرتب مشترکی نداشته باشند.

$f=\left\{ (1,a),(2,b),(3,c),(4,d) \right\}$ 
$g=\left\{ (1,d),(2,c),(3,b),(4,a) \right\}$

$=\{a,b,c,d\}=g$  برد $f$ و دامنه‌ی $=\{1,2,3,4\}=g$  دامنه‌ی$ f$
17- نمودار تابعی را رسم کنید که دامنهٔ آن $[0,2]$ و برد آن $[-2,1]$ باشد. چه تعداد از این گونه توابع می‌توان رسم کرد؟
بی‌نهایت تابع می‌توان رسم کرد که دامنه‌ی آن $[0,2]$ و برد آن $[-2,1]$ باشد.